Mỗi lớp các đối tượng nghiên cứu sau đây lập thành một phạm trù. Ta có phạm trù các đa tạp đại số, các đa tạp với biên, các đa tạp với góc cạnh, vân vân.

Đa tạp đại số

Xét tập hợp tất cả các điểm ( z 1 , z 2 , . . . , z n ) {\displaystyle (z_{1},z_{2},...,z_{n})} trong không gian phức n {\displaystyle n} chiều thỏa mãn hệ phương trình dạng F i ( z 1 , z 2 , . . . , z n ) = 0 ; i = 1 , 2 , . . . , s {\displaystyle F_{i}(z_{1},z_{2},...,z_{n})=0;i=1,2,...,s} trong đó F i {\displaystyle F_{i}} là các đa thức của các biến số z 1 , z 2 , . . . , z n {\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{n}} .

• Nếu các F i {\displaystyle F_{i}} đều là bậc nhất đối với tất cả các z j ( j = 1 , 2 , . . . , n ) {\displaystyle z_{j}(j=1,2,...,n)} thì ta có đa tạp tuyến tính
• Nếu các hệ số của F i {\displaystyle F_{i}} là số hữu tỉ (thực, phức) thì ta có Đa tạp đại số hữu tỉ (thực, phức).

Đa tạp với biên (manifold with boundary)

Một tờ giấy dài vô hạn nhưng rộng hữu hạn là một đa tạp 2 chiều với biên 1 chiều. Biên của một đa tạp n chiều với biên là một đa tạp (n-1) chiều. Một đĩa (vòng tròn cộng với phần trong) là đa tạp 2 chiều với biên. Biên của nó là một vòng tròn, một đa tạp 1 chiều. Một quả bóng (hình cầu cộng với phần trong) là một đa tạp 3 chiều với biên. Biên của nó là một mặt cầu, đa tạp 2 chiều.

Đa tạp với biên là một không gian có chứa cả điểm trong và các điểm biên. Tất cả các điểm trong có một lân cận đồng phôi với quả cầu n {\displaystyle n} -chiều mở { ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) | Σ x i 2 < 1 } {\displaystyle \left\{(x_{1},x_{2},...,x_{n})|\Sigma x_{i}^{2}<1\right\}} . Tất cả các điểm biên có một lân cận đồng phôi với "một nửa" quả cầu n {\displaystyle n} -chiều { ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) | Σ x i 2 < 1 , x 1 ≥ 0 } {\displaystyle \left\{(x_{1},x_{2},...,x_{n})|\Sigma x_{i}^{2}<1,x_{1}\geq 0\right\}} . Các đồng phôi phải biến mỗi điểm biên thành một điểm có x 1 = 0 {\displaystyle x_{1}=0} .

Đa tạp với góc cạnh (manifold with corners)

Đa tạp với góc cạnh khác đa tạp với biên ở điều kiện đồng phôi địa phương. Tất cả các điểm trong vẫn có một lân cận đồng phôi với quả cầu n {\displaystyle n} -chiều mở { ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) | Σ x i 2 < 1 } {\displaystyle \left\{(x_{1},x_{2},...,x_{n})|\Sigma x_{i}^{2}<1\right\}} . Tuy nhiên, tất cả các điểm biên có một lân cận đồng phôi với "một góc" bậc k {\displaystyle k} của quả cầu n {\displaystyle n} -chiều { ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) | Σ x i 2 < 1 , x 1 , … , x k ≥ 0 } {\displaystyle \left\{(x_{1},x_{2},...,x_{n})|\Sigma x_{i}^{2}<1,x_{1},\dots ,x_{k}\geq 0\right\}} . Một góc bậc 0 {\displaystyle 0} là một điểm trong. Một góc bậc 1 {\displaystyle 1} là một điểm tại biên. Một góc bậc 2 {\displaystyle 2} không phải là một điểm trong hay một điểm tại biên Một hình vuông hay một tờ giấy hữu hạn tính cả phần trong cũng là một đa tạp 2 chiều với góc cạnh.[2]

Đa tạp phức

Đa tạp Riemann

Đa tạp symplectic.